Determine, se existir, os seguintes limites:
(1 ponto) lim n infty 1raizn^2-3-raizn.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = 1raizn^2-3 - raizn
quando n to infty.
O conteúdo principal aqui é cálculo de limites de sequências envolvendo raízes, e vamos usar a técnica de racionalização de denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pela conjugada raizn^2-3+raizn:
an = 1raizn^2-3 - raizn ;cdot; raizn^2-3 + raiznraizn^2-3 + raizn = raizn^2-3 + raizn(raizn^2-3)^2 - (raizn)^2

Passo 3

Simplificamos o denominador:
(raizn^2-3)^2 - (raizn)^2 = (n^2-3) - n = n^2 - n - 3
Logo
an = raizn^2-3 + raiznn^2 - n - 3

Passo 4

Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por n:
an = raizn^2-3n + raiznn n^2-n-3n = raiz1 - 3n^2 + 1raiznn - 1 - 3n
Quando n to infty temos raiz1 - 3/n^2to1, 1/raiznto0 e n-1-3/ntoinfty. Portanto
limntoinftyan = 1 + 0infty = 0

Resposta

limn infty 1raizn^2-3 - raizn = 0

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