Determine (se existir) o valor de:
lim x -6 x^2-36x+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de x^2-36x+6 quando x se aproxima de -6. Isso é um exercício de cálculo de limites, e vamos usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão e encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor x = -6 diretamente na expressão para ver o que acontece:
(-6)^2 - 36-6 + 6 = 36 - 360 = 00
Esse resultado 00 é uma indeterminação, ou seja, não podemos concluir nada diretamente. Precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador x^2 - 36. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)
Então, a expressão original fica:
(x - 6)(x + 6)x + 6

Passo 4

Agora, percebemos que o termo (x + 6) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, desde que x neq -6 (o que é válido porque estamos olhando o limite, não o valor exato em x = -6):
(x - 6)cancel(x + 6)cancel(x + 6) = x - 6

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para x - 6, podemos calcular o limite substituindo x por -6:
limx to -6 (x - 6) = (-6) - 6 = -12

Resposta

O valor do limite é -12.

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