QUESTÃO 3 (4 pontos)
Calcule as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=4x^2-9+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular as assíntotas horizontais e verticais da função f(x) = 4x^2-9 + 2 . A matéria aqui é sobre assíntotas de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender o que são assíntotas horizontais e verticais e como identificá-las em uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas aparecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver:
x^2 - 9 = 0
Isso é uma equação do segundo grau que pode ser fatorada:
(x - 3)(x + 3) = 0
Então, as soluções são:
x = 3 e x = -3
Portanto, as assíntotas verticais estão em x = 3 e x = -3 .

Passo 3

Agora, vamos descobrir as assíntotas horizontais. Para funções racionais da forma f(x) = P(x)Q(x) + k , onde P(x) e Q(x) são polinômios, a assíntota horizontal é o valor de k se o grau de P(x) for menor que o de Q(x) .
No nosso caso, temos:
f(x) = 4x^2-9 + 2
Aqui, o grau do polinômio no numerador ( 4 , grau 0) é menor que o grau do polinômio no denominador ( x^2-9 , grau 2). Portanto, a assíntota horizontal é o valor adicionado, que é y = 2 .

Resposta

As assíntotas verticais da função são x = 3 e x = -3 , e a assíntota horizontal é y = 2 .

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