Determine (se existir) o valor de:
lim x 0 sen(9 x)sen(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para encontrar o valor de:
lim x 0 sen(9 x)sen(5 x)
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades fundamentais dos limites de funções trigonométricas quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender uma propriedade importante:
limx to 0 sen(k x)k x = 1
Isso significa que, quando x é muito pequeno, sen(k x) é aproximadamente igual a k x . Vamos usar essa ideia para simplificar nosso limite.

Passo 3

Vamos reescrever o limite original usando essa propriedade. Podemos multiplicar e dividir o numerador e o denominador por 9x e 5x respectivamente:
lim x 0 sen(9 x)sen(5 x) = lim x 0 sen(9 x)9x cdot 9x5x cdot 5xsen(5 x)

Passo 4

Agora, separamos as partes do limite:
  1. lim x 0 sen(9 x)9x = 1 (pela propriedade que mencionamos)
  2. 9x5x = 95 (os x cancelam)
  3. lim x 0 5xsen(5 x) = 1 (novamente, pela mesma propriedade)

Passo 5

Multiplicando esses resultados:
1 cdot 95 cdot 1 = 95

Resposta

O valor do limite é 95.

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