Questão 2. Calcule as seguintes integrais
integral (arctg x)^21+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (arctan(x))^21+x^2,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para integrais, aproveitando que a derivada de arctan(x) é 1/(1+x^2).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = arctan(x),
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du = dx1+x^2
Note que dx/(1+x^2) no integrando se torna du e (arctan(x))^2 se torna u^2.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral (arctan(x))^21+x^2,dx = integral u^2,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
integral u^2,du = u^33 + C
Finalmente, voltamos à variável x com u = arctan(x).

Resposta

(arctan(x))^33 + C

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