Determine (se existir) o valor de:
lim t 0 raizt^2+25-52 t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o valor de:
lim t 0 raizt^2+25-52 t^2
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções com raízes. Para resolver isso, vamos precisar de técnicas como racionalização e entender como lidar com expressões que podem se tornar indeterminadas quando substituímos o valor do limite diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir t = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
raiz0^2+25-52 times 0^2 = raiz25-50 = 5 - 50 = 00
Esse resultado é uma forma indeterminada ( 00 ), o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar a técnica de racionalização. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador para eliminar a raiz. A expressão conjugada de raizt^2+25 - 5 é raizt^2+25 + 5 .
Então, multiplicamos a fração por raizt^2+25 + 5raizt^2+25 + 5 :
raizt^2+25-52 t^2 times raizt^2+25 + 5raizt^2+25 + 5

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(raizt^2+25-5)(raizt^2+25+5) = (raizt^2+25)^2 - (5)^2 = t^2 + 25 - 25 = t^2
Denominador:
2 t^2 (raizt^2+25 + 5)
Então, a expressão simplifica para:
t^22 t^2 (raizt^2+25 + 5)

Passo 5

Agora, podemos simplificar t^2 no numerador e no denominador:
12 (raizt^2+25 + 5)

Passo 6

Agora, substituímos t = 0 na expressão simplificada:
12 (raiz0^2+25 + 5) = 12 (5 + 5) = 12 times 10 = 120

Resposta

O valor do limite é boxeddfrac120.

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