Determine, se existir, o valor de L in R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas.
f(x)=lsen(x^2+2)-sen(x+2)x, se x neq 0, L, se x=0

Passo 1

O enunciado define
f(x)= dfracsinl(x^2+2r)-sin(x+2)x,&xneq0, L,&x=0,
e pede o valor de LinR que torna f contínua em x=0. Para isso precisamos calcular
limxto0sinl(x^2+2r)-sin(x+2)x
e igualá-lo a L.

Passo 2

Observamos que, ao xto0, o numerador tende a sin2-sin2=0 e o denominador tende a 0, gerando a forma indeterminada tfrac00. Logo podemos aplicar a regra de L’H^opital.

Passo 3

Pela regra de L’H^opital,
limxto0sinl(x^2+2r)-sin(x+2)x =limxto0ddxl[sinl(x^2+2r)-sin(x+2)r]
Derivando o numerador:
ddxl[sin(x^2+2)r] =2xcos(x^2+2), ddxl[sin(x+2)r] =cos(x+2)
Portanto
limxto0sin(x^2+2)-sin(x+2)x =limxto0l[2xcos(x^2+2)-cos(x+2)r]

Passo 4

Avaliamo o limite:
limxto0l[2xcos(x^2+2)-cos(x+2)r] =2cdot0cdotcos2-cos2=-cos2
Para que f seja contínua em 0, precisamos de
L=limxto0f(x)=-cos2

Resposta

L=-cos2.

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