Determine a função y=y(x), x>0, tal que
d yd x=3+1x e y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede uma função y=y(x), definida para x>0, que satisfaça a equação diferencial
dydx = 3 + 1x
com a condição inicial y(1)=2. O conteúdo aqui é resolução de ODE de primeira ordem por integração direta.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. De um lado temos integral dy e do outro integrall(3+tfrac1xr),dx, logo
y(x) = integral 3,dx + integral 1x,dx = 3x + ln(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1 em y(x)=3x+ln(x)+C
y(1) = 3cdot1 + ln(1) + C = 3 + 0 + C = 2
Logo C = 2 - 3 = -1.

Resposta

A solução com x>0 e satisfazendo y(1)=2 é
y(x) = 3x + ln(x) - 1

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