Determine, se existir, os valores de a, b in R para que cada uma das funções abaixo sejam contínuas.
f(x)=clsen(x^2+2)-sen(x+2)x & se x neq 0 a & se x=0

Passo 1

O enunciado define a função [f) de forma piecewise e pede valores de (e eventual ) para que seja contínua. Aqui temos:
Como a continuidade em , vamos calcular esse limite.]

Passo 2

Para xneq0 use a identidade de soma de senos:
sin A - sin B = 2cos!l(A+B2r),sin!l(A-B2r)
Com A=x^2+2 e B=x+2 obtemos
sin(x^2+2)-sin(x+2) =2cos!l(x^2+x+42r), sin!l(x^2-x2r)
Logo, para xneq0,
f(x) =2cos!l(tfracx^2+x2+2r), sin!l(tfracx^2-x2r)x

Passo 3

Como xto0, temos cosl(tfracx^2+x2+2r)tocos2 e, usando sin ysim y para yto0,
sinl(x^2-x2r)simx^2-x2
Portanto
f(x)sim 2cos2;x(x-1)2x =cos2,(x-1),
e assim
limxto0f(x) =cos2,(0-1) =-cos2

Passo 4

Para garantir continuidade em x=0 devemos ter
a=limxto0f(x)=-cos2

Resposta

a=-cos2.

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