Determine, se existirem:
lim x infty(1+a2 x)^x

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxtoinftyl(1+a2xr)^x
Isto é um caso clássico de limite exponencial do tipo l(1+tfracalphaxr)^x, que remete à definição da função exponencial.

Passo 2

Para lidar com potências cuja base e expoente dependem de x, tomamos o logaritmo natural. Seja
L=limxtoinftyl(1+a2xr)^x
Então, se existir L>0, temos
ln L = limxtoinfty xlnl(1+a2xr)
Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+t) quando tto0:
ln(1+t)=t+o(t)
Aqui t=tfraca2xto0, de modo que
lnl(1+a2xr) =a2x+ol(1xr)
Multiplicando por x, obtemos
xlnl(1+a2xr) =a2+xcdot ol(1xr) =a2+o(1)
Portanto
ln L = limxtoinftyl(tfraca2+o(1)r) =a2

Passo 3

Como ln L=tfraca2, basta reverter o logaritmo para concluir
L = e^,a2

Resposta

limxtoinftyl(1+a2xr)^x = e^a2

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