Prove que se n é um número natural, então 2^3^n+1 é divisível por 3^n+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, vale a divisibilidade
3^,n+1mid 2^3^n + 1
O conteúdo que vamos usar é o Lema da Elevada Potência de Teorema de Lifting The Exponent (LTE), que relaciona a ordem de um primo na soma (ou diferença) de potências ao expoente da potência.

Passo 2

Apresentamos a versão do LTE que interessa ao caso de soma de potências: se p é um primo ímpar que divide a+b e não divide ab, então, para todo minN,
vpl(a^m+b^mr) ;=; vp(a+b);+;vp(m),
onde vp(x) é a maior potência de p que divide x.

Passo 3

No nosso problema escolhemos p=3, a=2 e b=1. Observamos que 3mid(2+1) e 3nmid(2cdot1), logo as hipóteses do LTE estão satisfeitas. Aplicando-o com m=3^n, obtemos
v3l(2^3^n + 1^,3^nr) ;=;v3(2+1);+;v3l(3^nr) ;=;1 ;+; n ;=;n+1
Isto significa exatamente que 3^,n+1 divide 2^3^n+1.

Resposta

Como v3(2^3^n+1)=n+1, concluímos que
3^,n+1mid 2^3^n+1

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