Prove que se n é um número natural, então
é divisível por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale a divisibilidade
O conteúdo que vamos usar é o Lema da Elevada Potência de Teorema de Lifting The Exponent (LTE), que relaciona a ordem de um primo na soma (ou diferença) de potências ao expoente da potência.
Passo 2
Apresentamos a versão do LTE que interessa ao caso de soma de potências: se
é um primo ímpar que divide
e não divide
, então, para todo
,
onde
é a maior potência de
que divide
.
Passo 3
No nosso problema escolhemos
,
e
. Observamos que
e
, logo as hipóteses do LTE estão satisfeitas. Aplicando-o com
, obtemos
Isto significa exatamente que
divide
.
Resposta
Como
, concluímos que