Justifique se é verdadeiro ou falso que
tem um extremo em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos saber se ela tem um extremo (ou seja, um ponto de máximo ou mínimo) em
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, que envolve calcular derivadas para encontrar esses pontos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a saber como a função está se comportando em cada ponto.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a derivada em
para ver se é um ponto crítico (onde a derivada é zero ou não existe).
Como
,
é realmente um ponto crítico.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Agora, avaliamos em
:
Como a segunda derivada também é zero em
, não conseguimos concluir diretamente o tipo de extremo. Então, vamos analisar o comportamento da derivada primeira perto de
.
Vamos escolher valores próximos a 3:
- Para
, digamos :
- Para
, digamos :
Como a derivada é positiva antes e depois de
, isso indica que a função está crescente nesses intervalos e não há mudança na direção, ou seja, não há extremo em
.
Resposta
Falso. A função
não possui um extremo em
.