Justifique se é verdadeiro ou falso que f(x)=x^3-9 x^2+27 x-27 tem um extremo em x=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 e queremos saber se ela tem um extremo (ou seja, um ponto de máximo ou mínimo) em x = 3 . Para resolver isso, vamos usar o cálculo diferencial, que envolve calcular derivadas para encontrar esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos ajuda a saber como a função está se comportando em cada ponto.
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(9x^2) + ddx(27x) - ddx(27)
Calculando cada termo:
f'(x) = 3x^2 - 18x + 27

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada em x = 3 para ver se é um ponto crítico (onde a derivada é zero ou não existe).
f'(3) = 3(3)^2 - 18(3) + 27 = 3 times 9 - 54 + 27 = 27 - 54 + 27 = 0
Como f'(3) = 0 , x = 3 é realmente um ponto crítico.

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
f''(x) = ddx(3x^2 - 18x + 27) = 6x - 18
Agora, avaliamos em x = 3 :
f''(3) = 6(3) - 18 = 18 - 18 = 0
Como a segunda derivada também é zero em x = 3 , não conseguimos concluir diretamente o tipo de extremo. Então, vamos analisar o comportamento da derivada primeira perto de x = 3 .
Vamos escolher valores próximos a 3:
  • Para x < 3 , digamos x = 2 :
f'(2) = 3(2)^2 - 18(2) + 27 = 12 - 36 + 27 = 3 > 0
  • Para x > 3 , digamos x = 4 :
f'(4) = 3(4)^2 - 18(4) + 27 = 48 - 72 + 27 = 3 > 0
Como a derivada é positiva antes e depois de x = 3 , isso indica que a função está crescente nesses intervalos e não há mudança na direção, ou seja, não há extremo em x = 3 .

Resposta

Falso. A função f(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 não possui um extremo em x = 3 .

Exercícios relacionados