Verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado.
X^prime=[ll2 & 1 3 & 4] X-[l1 7] e^t ; Xp=[l1 1] e^t+[c1 -1] t e^t

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema não– homogêneo
X' = A,X - b,e^t,
onde
A = 2 & 1[6pt]3 & 4, b = 1[3pt]7,
e propõe como solução particular
Xp(t) = 1[3pt]1e^t , + , 1[3pt]-1t,e^t
Para verificar que Xp é de fato uma solução particular, vamos calcular Xp' e comparar com A,Xp-b,e^t.]

Passo 2

Calculemos a derivada Xp'(t). Como
Xp(t) = v,e^t + w,t,e^t,
com v=11 e w=1-1, usamos a regra do produto:
ddt(v,e^t) = v,e^t, ddt(w,t,e^t) = w,(e^t + t,e^t) = w,e^t + w,t,e^t
Portanto
Xp'(t) = v,e^t + l(w,e^t + w,t,e^tr) = (v + w),e^t + w,t,e^t = 11e^t +1-1e^t +1-1t,e^t = 20e^t +1-1t,e^t

Passo 3

Agora calculemos A,Xp(t). Primeiro
A,l(v,e^tr) = 2 & 1[3pt]3 & 4 1[3pt]1e^t = 2+1[3pt]3+4e^t = 3[3pt]7e^t
Em seguida
A,l(w,t,e^tr) = 2 & 1[3pt]3 & 4 1[3pt]-1t,e^t = 2-1[3pt]3-4t,e^t = 1[3pt]-1t,e^t
Somando,
A,Xp(t) = 3[3pt]7e^t + 1[3pt]-1t,e^t ]

Passo 4

O lado direito do sistema é
A,Xp(t) ;-; b,e^t = l(37e^t + 1-1t,e^tr) - 17e^t = 3-17-7e^t + 1-1t,e^t = 20e^t + 1-1t,e^t

Passo 5

Comparando
Xp'(t) = 20e^t + 1-1t,e^t e A,Xp(t)-b,e^t = 20e^t + 1-1t,e^t,
vemos que coincidem exatamente. Logo Xp satisfaz o sistema.

Resposta

Verificou– se que
Xp'(t) ;=; A,Xp(t) ;-; b,e^t,
portanto Xp(t) é de fato uma solução particular do sistema.

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