Mostre que para todo
vale que
[
21 \mid\left(4{n+1}+5{2 n-1}\right)
21 \mid\left(4{n+1}+5{2 n-1}\right)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
divide
para todo
. O conteúdo é divisibilidade inteira e usaremos o princípio da indução matemática para provar que a afirmação vale para todo
.
Passo 2
Verificamos o caso base
. Calculamos
Como
Passo 3
Suponha que para algum
valha
Passo 4
Vamos mostrar que então também vale
Passo 5
Observe que
Passo 6
Escrevendo
e agrupando, temos
Passo 7
Pelo passo indutivo,
é múltiplo de
, e
também é múltiplo de
. Logo a soma é múltiplo de
.
Passo 8
Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo
.
Resposta
Para todo
, tem-se
.