Mostre que para todo n >= 1 vale que
[
21 \mid\left(4{n+1}+5{2 n-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 21 divide 4^n+1+5^2n-1 para todo n>=1. O conteúdo é divisibilidade inteira e usaremos o princípio da indução matemática para provar que a afirmação vale para todo n.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. Calculamos
4^1+1+5^2cdot1-1=4^2+5^1=16+5=21
Como 21 divide 21, o caso base está correto.

Passo 3

Suponha que para algum n>=1 valha
21midl(4^n+1+5^2n-1r)

Passo 4

Vamos mostrar que então também vale
21midl(4^(n+1)+1+5^2(n+1)-1r)

Passo 5

Observe que
4^(n+1)+1+5^2(n+1)-1=4^n+2+5^2n+1=4cdot4^n+1+25cdot5^2n-1

Passo 6

Escrevendo 25=4+21 e agrupando, temos
4cdot4^n+1+25cdot5^2n-1=4l(4^n+1+5^2n-1r)+21cdot5^2n-1

Passo 7

Pelo passo indutivo, 4^n+1+5^2n-1 é múltiplo de 21, e 21cdot5^2n-1 também é múltiplo de 21. Logo a soma é múltiplo de 21.

Passo 8

Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo n>=1.

Resposta

Para todo n>=1, tem-se 21midl(4^n+1+5^2n-1r).

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