Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f(x)=8 x^2+1raiz16 x^4-1.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=8x^2+1raiz16x^4-1. O conteúdo envolve análise de domínio e cálculo de limites laterais nos pontos onde o denominador zera (para assíntotas verticais) e limites em xtopminfty (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Determinar o domínio de f exige que o argumento da raiz seja positivo:
16x^4-1>0
Isso implica
x^4>tfrac116 Longrightarrow |x|>tfrac12
Logo o domínio é (-infty,-tfrac12)cup(tfrac12,infty).

Passo 3

Para as assíntotas verticais analisamos os limites em xtotfrac12^+ e em xto-tfrac12^-. No numerador
limxtopmtfrac12(8x^2+1)=8cdottfrac14+1=3,
enquanto no denominador raiz16x^4-1to0^+. Portanto
limxtopmtfrac12f(x)=+infty
e há assíntotas verticais em x=-tfrac12 e x=tfrac12.

Passo 4

Para as assíntotas horizontais calculamos limxtopminftyf(x). Escrevendo
f(x) =8x^2+1raiz16x^4-1 =8x^2l(1+tfrac18x^2r)4x^2raiz1-tfrac116x^4 =2cdot1+tfrac18x^2raiz1-tfrac116x^4,
e tomando xtopminfty, os termos tfrac1x^2 e tfrac1x^4 vão a zero, ficando
limxtopminftyf(x)=2
Assim há assíntota horizontal em y=2.

Resposta

Assíntotas verticais: x=-tfrac12 e x=tfrac12.
Assíntota horizontal: y=2.

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