Questão 1 [ 2,0 pontos] Calcule as derivadas das funções a seguir.
l f(x)=cos (4 x^3-7 x+9) f(x)=cosec(5 x) cdot ln e^(cotg 5 x)

Passo 1

Resumo da questão: a tarefa é calcular as derivadas de duas funções
  1. f1(x)=cosl(4x^3-7x+9r)
  2. f2(x)=cosec(5x),lnl(e^cotg(5x)r)
    Matéria: derivadas (Cálculo Diferencial).
    O que vamos usar:
  • Regra da cadeia (para composições como cos(u) e ln(e^u)),
  • Regra do produto (para cosec(5x)cdotcdot),
  • Derivadas básicas: ddxcos u=-sin ucdot u', ddxcosecu=-cosecucotg ucdot u', ddxcotg u=-cosec^2ucdot u'.

Passo 2

Derivada de f1(x)=cosl(4x^3-7x+9r).
  1. Seja u(x)=4x^3-7x+9. Então f1(x)=cos(u).
  2. Por regra da cadeia,
    f1'(x)=dducos(u)cdot u'(x) =(-sin u)cdot(12x^2-7).
  3. Substituindo u=4x^3-7x+9:
    f1'(x)=-sinl(4x^3-7x+9r),(12x^2-7).

Passo 3

Derivada de
f2(x)=cosec(5x),lnl(e^cotg(5x)r)
  1. Primeiro note que ln(e^cotg(5x))=cotg(5x).
    Então
f2(x)=cosec(5x),cotg(5x)
  1. Defina u(x)=cosec(5x) e v(x)=cotg(5x).
    f2(x)=u(x),v(x) e por regra do produto
f2'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
  1. Calcule u'(x):
    • Para u=cosec(z), ddzcosecz=-coseczcotg z.
    • Aqui z=5x, então z'=5.
u'(x)=-cosec(5x),cotg(5x)cdot 5 =-5,cosec(5x),cotg(5x)
  1. Calcule v'(x):
    • Para v=cotg(z), ddzcotgz=-cosec^2z.
    • Aqui z=5x, z'=5.
v'(x)=-cosec^2(5x)cdot 5 =-5,cosec^2(5x)
  1. Agora monte f2'(x):
f2'(x) =l(-5,cosec(5x)cotg(5x)r),cotg(5x) +cosec(5x),l(-5,cosec^2(5x)r)
  1. Simplificando:
f2'(x) =-5,cosec(5x),cotg^2(5x) -5,cosec^3(5x)

Resposta

As derivadas são
boxed f1'(x)&=-sinl(4x^3-7x+9r),(12x^2-7),[6pt] f2'(x)&=-5,cosec(5x),cotg^2(5x) ;-;5,cosec^3(5x)
]

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