Verifique se a equação 2^x+x=0 tem solução real.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
2^x + x = 0
tem solução real.
Conteúdo envolvido: estudo de continuidade e monotonicidade de funções, além do Teorema do Valor Intermediário para existência de raízes.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 2^x + x
Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
f'(x) = ddxl(2^xr) + ddx(x) = 2^xln 2 + 1
Como 2^x>0 e ln 2>0, segue que
f'(x) = 2^xln 2 + 1 > 0
para todo x. Logo, f é estritamente crescente em R.

Passo 3

Analisamos os limites nos extremos do domínio:
limxto -inftyf(x)=limxto -inftyl(2^x+xr) =0 + (-infty)=-infty,
limxto +inftyf(x)=limxto +inftyl(2^x+xr) =+infty + (+infty)=+infty

Passo 4

Como f é contínua e estritamente crescente, e seus valores em -infty e +infty vão de -infty a +infty, pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente um cinR tal que f(c)=0. A monotonicidade garante que essa solução é única.

Resposta

A equação 2^x+x=0 possui exatamente uma solução real.

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