Verifique se a equação
tem solução real.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
tem solução real.
Conteúdo envolvido: estudo de continuidade e monotonicidade de funções, além do Teorema do Valor Intermediário para existência de raízes.
Conteúdo envolvido: estudo de continuidade e monotonicidade de funções, além do Teorema do Valor Intermediário para existência de raízes.
Passo 2
Definimos a função
Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
Como
e
, segue que
para todo
. Logo,
é estritamente crescente em
.
Passo 3
Analisamos os limites nos extremos do domínio:
Passo 4
Como
é contínua e estritamente crescente, e seus valores em
e
vão de
a
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente um
tal que
. A monotonicidade garante que essa solução é única.
Resposta
A equação
possui exatamente uma solução real.