(a) Use o Teorema do Confronto para mostrar que se a função é limitada (isto é, existe tal que , então .
(b) Use resultado acima para verificar se a função , onde para todo no intervalo , é contínua em .
Passo 1
O enunciado trata de duas coisas principais: primeiro (a) queremos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para provar que, se é limitada, então
Depois (b) usaremos esse resultado para mostrar que, se uma função satisfaz
então e assim é contínua em .
Passo 2
Como é limitada, existe tal que
Então, para todo , vale
E como
limxto0 |x|^2,M = Mcdotlimxto0x^2 =0,
pela desigualdade acima e pelo Teorema do Confronto segue
limxto0x^2f(x)=0
Passo 3
No caso de g, a hipótese diz
x^2sin x ,<=, g(x),<=, x^2cos x para xinl]-tfracpi2,tfracpi2r[
Repare que sin x e cos x são funções limitadas (pelo menos em todo R), logo ambas podem ser escritas como x^2h(x) com h limitada. Portanto, pelo resultado de (a),
limxto0 x^2sin x =0 e limxto0 x^2cos x =0
Passo 4
Aplicando de novo o Teorema do Confronto à desigualdade
x^2sin x ,<=, g(x),<=, x^2cos x,
obtém-se
limxto0g(x)=0
Por outro lado, inserindo x=0 na desigualdade (ou simplesmente observando que 0^2sin0=0 e 0^2cos0=0), vemos que necessariamente