(a) Use o Teorema do Confronto para mostrar que se a função f é limitada (isto é, existe M in IR tal que |f(x)| <= M forall x in IR, então lim x 0 x^2 f(x)=0.
(b) Use o resultado acima para verificar se a função g: I R I R, onde x^2 sen x <= g(x) <= x^2 cos x para todo x no intervalo ]-pi2, pi2[, é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado trata de duas coisas principais: primeiro (a) queremos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para provar que, se f é limitada, então
limxto0 x^2 f(x)=0
Depois (b) usaremos esse resultado para mostrar que, se uma função g satisfaz
x^2sin x ,<=, g(x),<=, x^2cos x em ]-tfracpi2,tfracpi2[,
então limxto0g(x)=g(0) e assim g é contínua em 0.

Passo 2

Como f é limitada, existe MinR tal que
|f(x)|<= M forall xinR
Então, para todo x, vale
l|x^2f(x)r| =|x|^2,|f(x)| <= |x|^2,M
E como
limxto0 |x|^2,M = Mcdotlimxto0x^2 =0,
pela desigualdade acima e pelo Teorema do Confronto segue
limxto0x^2f(x)=0

Passo 3

No caso de g, a hipótese diz
x^2sin x ,<=, g(x),<=, x^2cos x para xinl]-tfracpi2,tfracpi2r[
Repare que sin x e cos x são funções limitadas (pelo menos em todo R), logo ambas podem ser escritas como x^2h(x) com h limitada. Portanto, pelo resultado de (a),
limxto0 x^2sin x =0 e limxto0 x^2cos x =0

Passo 4

Aplicando de novo o Teorema do Confronto à desigualdade
x^2sin x ,<=, g(x),<=, x^2cos x,
obtém-se
limxto0g(x)=0
Por outro lado, inserindo x=0 na desigualdade (ou simplesmente observando que 0^2sin0=0 e 0^2cos0=0), vemos que necessariamente
g(0)=0

Resposta

Portanto
limxto0x^2f(x)=0 e limxto0g(x)=g(0)=0,
mostrando que g é contínua em x=0.

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