Determine, se existirem, as constantes A, B, L in R, de modo que a função f: R -> R seja contínua em R: f(x) = { (x^2 - 4) / (x - 2), para x ≠ 2; L, para x = 2 }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores das constantes , e que fazem a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais . A função está definida da seguinte maneira:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos básicos da análise de continuidade de funções, usando álgebra para simplificar e encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que a função seja contínua em todos os reais, especialmente no ponto , onde a função está definida de forma diferente.

Passo 3

Vamos analisar a função para :
Perceba que o numerador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, podemos simplificar a expressão:
Para , podemos cancelar o termo :

Passo 4

Agora que simplificamos a função para e vimos que , vamos encontrar o limite dessa função quando se aproxima de 2:

Passo 5

Para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2. Ou seja:
Portanto, .

Resposta

A constante deve ser igual a 4 para que a função seja contínua em .

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