Determine, se existirem, as constantes
, de modo que a função
seja contínua em
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores das constantes
,
e
que fazem a função
ser contínua em todo o conjunto dos números reais
. A função está definida da seguinte maneira:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos básicos da análise de continuidade de funções, usando álgebra para simplificar e encontrar os valores desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos que a função seja contínua em todos os reais, especialmente no ponto
, onde a função está definida de forma diferente.
Passo 3
Vamos analisar a função para
:
Perceba que o numerador
pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, podemos simplificar a expressão:
Para
, podemos cancelar o termo
:
Passo 4
Agora que simplificamos a função para
e vimos que
, vamos encontrar o limite dessa função quando
se aproxima de 2:
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, o valor da função nesse ponto
deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 2. Ou seja:
Portanto,
.
Resposta
A constante
deve ser igual a 4 para que a função
seja contínua em
.