Mostre que qualquer campo vetorial da forma F(x, y, z) = f(x) i + g(y) j + h(z) k, em que f, g e h são diferenciáveis, é irrotacional.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial da forma , onde f, g e h são funções diferenciáveis. A tarefa é mostrar que esse campo vetorial é irrotacional.
Conteúdo da matéria: Estamos falando de cálculo vetorial, especificamente sobre campo vetorial irrotacional. Um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional (também conhecido como curl) for igual a zero em todos os pontos.
O que vamos precisar: Vamos precisar calcular o rotacional de F e mostrar que ele é igual a zero.

Passo 2

Vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. Para um campo , o rotacional é dado por:
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional usando as derivadas parciais:
  1. Componente i:
Como depende apenas de z, a derivada de em relação a y é zero:
E g(y) depende apenas de y, então a derivada de g(y) em relação a z também é zero:
Portanto:
  1. Componente vec(j):
Similarmente, f(x) depende apenas de x, então:
E depende apenas de z, então:
Logo:
  1. Componente k:
Aqui, g(y) depende apenas de y:
E f(x) depende apenas de x:
Portanto:

Resposta

Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que:
Portanto, o campo vetorial é irrotacional.

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