Mostre que qualquer campo vetorial da forma
, em que
e
são diferenciáveis, é irrotacional.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial da forma
, onde
,
e
são funções diferenciáveis. A tarefa é mostrar que esse campo vetorial é irrotacional.
Conteúdo da matéria: Estamos falando de cálculo vetorial, especificamente sobre campo vetorial irrotacional. Um campo vetorial é irrotacional se o seu rotacional (também conhecido como curl) for igual a zero em todos os pontos.
O que vamos precisar: Vamos precisar calcular o rotacional de
e mostrar que ele é igual a zero.
Passo 2
Vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. Para um campo
, o rotacional é dado por:
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional usando as derivadas parciais:
- Componente
:
Como
depende apenas de
, a derivada de
em relação a
é zero:
E
depende apenas de
, então a derivada de
em relação a
também é zero:
Portanto:
- Componente
:
Similarmente,
depende apenas de
, então:
E
depende apenas de
, então:
Logo:
- Componente
:
Aqui,
depende apenas de
:
E
depende apenas de
:
Portanto:
Resposta
Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que:
Portanto, o campo vetorial
é irrotacional.