Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
0,782178217821...

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos transformar a dízima periódica em uma fração. Isso faz parte do estudo de números decimais e como convertê-los para frações. Para isso, vamos usar um método que envolve multiplicação e subtração para eliminar a parte periódica.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a dízima de :

Passo 3

Vamos identificar quantos dígitos se repetem. Nesse caso, “7821” se repete, que são 4 dígitos. Então, multiplicamos por para deslocar a vírgula 4 casas decimais:

Passo 4

Agora, temos duas equações:

Passo 5

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica:

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum. Calculando, vemos que 7821 e 9999 têm um divisor comum de 3:
Ainda dá para simplificar mais, dividindo por 3 novamente:

Resposta

A dízima periódica é igual à fração .

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