Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
0,232323232323 ldots
Dica: Reescreva as dizimas de maneira que formem progressões geométricas. Exemplo:
0,23232323 ldots & =0,23+0,0023+0,000023+0,00000023+cdots & =23100+23100^2+23100^3+23100^4+cdots & =23100(1+1100+1100^2+1100^3+cdots) & =23100(11-1100)=23100(10099)=2399
23

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma dízima periódica, que é aquele número que fica repetindo os mesmos dígitos infinitamente. No caso, é o número 0,23232323ldots. Nosso objetivo é transformar esse número em uma fração. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e a teoria das progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o número que queremos transformar de x. Então:
x = 0,23232323ldots
A ideia aqui é achar uma forma de eliminar a parte decimal repetitiva.

Passo 3

Como a parte que se repete é “23” e ela ocupa duas casas decimais, vamos multiplicar x por 100 para “mover” a vírgula duas casas para a direita:
100x = 23,23232323ldots
Agora, temos:
100x = 23 + 0,23232323ldots
Perceba que o que está depois da vírgula é exatamente o x que definimos antes.

Passo 4

Substituindo x na equação, temos:
100x = 23 + x
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x.

Passo 5

Vamos isolar o x:
100x - x = 23 99x = 23
Então, dividindo os dois lados por 99:
x = 2399

Resposta

Portanto, a dízima periódica 0,23232323ldots pode ser expressa como a fração 2399.

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