Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
Dica: Reescreva as dizimas de maneira que formem progressões geométricas. Exemplo:
23
Dica: Reescreva as dizimas de maneira que formem progressões geométricas. Exemplo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma dízima periódica, que é aquele número que fica repetindo os mesmos dígitos infinitamente. No caso, é o número
. Nosso objetivo é transformar esse número em uma fração. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e a teoria das progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o número que queremos transformar de
. Então:
A ideia aqui é achar uma forma de eliminar a parte decimal repetitiva.
Passo 3
Como a parte que se repete é “23” e ela ocupa duas casas decimais, vamos multiplicar
por 100 para “mover” a vírgula duas casas para a direita:
Agora, temos:
Perceba que o que está depois da vírgula é exatamente o
que definimos antes.
Passo 4
Substituindo
na equação, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 5
Vamos isolar o
:
Então, dividindo os dois lados por 99:
Resposta
Portanto, a dízima periódica
pode ser expressa como a fração
.