Determine, se existirem:
os pontos da curva -x^2+x y+y^2=1 em que a reta tangente tem declive 1 / 3.

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por -x^2+x y+y^2=1 e pede os pontos em que a reta tangente tem declive tfrac13. Vamos usar diferenciação implícita para achar y' e depois igualar a tfrac13.

Passo 2

Diferenciando em relação a x temos
ddxl(-x^2r)+ddx(x y)+ddxl(y^2r)=0
Isso dá
-2x + l(x,y' + yr) + 2y,y' = 0,
isto é,
(x+2y),y' + (y-2x)=0,
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y'=2x-y,x+2y,

Passo 3

Impondo y'=tfrac13 obtemos
2x-yx+2y=13 Longrightarrow 3(2x-y)=x+2y Longrightarrow 6x-3y=x+2y Longrightarrow 5x=5y Longrightarrow x=y

Passo 4

Substituindo y=x na equação da curva:
- x^2 + xcdot x + x^2 = 1 Longrightarrow - x^2 + x^2 + x^2 = 1 Longrightarrow x^2=1
portanto x=pm1 e y=pm1.

Resposta

Os pontos são (1,1) e (-1,-1).

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