Determine, se existirem:
integral f(ln x)x d x, sabendo que f(x) é a derivada de 1sen e^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral f(ln x)x,dx
sabendo que f(x) é a derivada de
1senl(e^xr)
O conteúdo aqui envolve reconhecer uma substituição u=ln x e usar o Teorema Fundamental do Cálculo, pois f é exatamente a derivada de uma função conhecida.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = ln x
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du = dxx
Substituindo no integral, temos
integral f(ln x)x,dx =integral f(u),du

Passo 3

Como foi dado que
f(u)=ddul[tfrac1senl(e^ur)r],
a integral de f(u) em relação a u é simplesmente
integral f(u),du =1senl(e^ur)+C

Passo 4

Voltando à variável original x, note que e^u=e^ln x=x. Assim,
1senl(e^ur)+C =1sen(x)+C

Resposta

1sen(x) + C

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