Mostre que para todo inteiro n >= 0 vale que 6 mid n(n+1)(n+2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>= 0, o produto de três números inteiros consecutivos
n,;n+1,;n+2
é sempre múltiplo de 6.
O conteúdo chave é divisibilidade: basta provar que esse produto é divisível por 2 e por 3, e usar que gcd(2,3)=1.

Passo 2

Entre três inteiros consecutivos, sempre há um número par. Logo, um dos fatores n, n+1 ou n+2 é múltiplo de 2, o que implica
2 mid n(n+1)(n+2)

Passo 3

Entre três inteiros consecutivos, as classes de resto módulo 3 são 0,1,2 em alguma ordem. Em qualquer caso, um deles é congruente a 0 módulo 3, ou seja, é múltiplo de 3. Assim,
3 mid n(n+1)(n+2)

Passo 4

Como gcd(2,3)=1, as condições
2 mid n(n+1)(n+2) e 3 mid n(n+1)(n+2)
implicam
6 = 2cdot3 ;m|; n(n+1)(n+2)

Resposta

Para todo inteiro n>=0 vale que
6 mid n(n+1)(n+2)

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