Determine, se existirem:
integral0^1 sen(g(x)) g^prime(x) d x, sabendo que g(0)=pi e g(1)=pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 sinl(g(x)r),g'(x),dx
sabendo apenas que g(0)=pi e g(1)=tfracpi2.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma derivada composta (regra da cadeia) e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Observamos que, pela regra da cadeia,
ddxcosl(g(x)r) = -sinl(g(x)r),g'(x)
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sinl(g(x)r),g'(x) = -,ddxcosl(g(x)r)

Passo 3

Isso nos dá uma primitiva imediata:
integral sinl(g(x)r),g'(x),dx = -cosl(g(x)r) + C

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^1 sinl(g(x)r),g'(x),dx = l[-cosl(g(x)r)r]0^1 = -cosl(g(1)r) + cosl(g(0)r)
Como g(1)=tfracpi2 e g(0)=pi, temos cos(tfracpi2)=0 e cos(pi)=-1.

Passo 5

Substituindo esses valores:
-cosl(g(1)r) + cosl(g(0)r) = -0 + (-1) = -1

Resposta

-1

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