Encontre os pontos da elipse x^2+4 y^2=4 que estão mais distantes do ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede os pontos da elipse
x^2+4y^2=4
que maximizam a distância ao ponto (0,1).
Conteúdo: otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange). Vamos maximizar o quadrado da distância para simplificar.

Passo 2

Definimos a função a maximizar
f(x,y) = (x-0)^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-1)^2
sujeita à restrição
g(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4 = 0

Passo 3

Aplicando multiplicadores de Lagrange, requeremos
nabla f = lambda ,nabla g
Como
nabla f(x,y) = (2x,,2(y-1)), nabla g(x,y) = (2x,,8y),
as equações são
2x = 2lambda x, 2(y-1) = 8lambda y

Passo 4

Do primeiro caso, ou x=0 ou lambda=1.
  • Se lambda=1, da segunda equação: 2(y-1) = 8y ;Rightarrow;2y - 2 = 8y ;Rightarrow;y = -tfrac13 Na restrição: x^2 + 4l(-tfrac13r)^2 =4 ;Rightarrow; x^2 + tfrac49 =4 ;Rightarrow; x^2 = tfrac329 ;Rightarrow; x = pm tfrac4raiz23 Surgem os pontos l(pmtfrac4raiz23,- tfrac13r).
  • Se x=0, então da restrição y=pm1, dando (0,1) (distância zero) e (0,-1) (distânci a^2 =4).

Passo 5

Calculamos f em cada candidato:
  • Em (0,1), f=0 (mínimo).
  • Em (0,-1), f=(0)^2+(-1-1)^2=4.
  • Em l(pmtfrac4raiz23,- tfrac13r), f = tfrac329 + l(-tfrac13-1r)^2 = tfrac329 + tfrac169 = tfrac489 = tfrac163 >4
Portanto, o valor máximo de f ocorre nos pontos l(pmtfrac4raiz23,- tfrac13r).

Resposta

l(x,yr) = l(tfrac4raiz23,-tfrac13r) e l(-tfrac4raiz23,-tfrac13r)

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