Encontre os pontos da elipse
que estão mais distantes do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da elipse
que maximizam a distância ao ponto
.
Conteúdo: otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange). Vamos maximizar o quadrado da distância para simplificar.
Conteúdo: otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange). Vamos maximizar o quadrado da distância para simplificar.
Passo 2
Definimos a função a maximizar
sujeita à restrição
Passo 3
Aplicando multiplicadores de Lagrange, requeremos
Como
as equações são
Passo 4
Do primeiro caso, ou
ou
.
- Se
, da segunda equação: Na restrição: Surgem os pontos . - Se
, então da restrição , dando (distância zero) e (distânci ).
Passo 5
Calculamos
em cada candidato:
- Em
, (mínimo). - Em
, . - Em
,
Portanto, o valor máximo de
ocorre nos pontos
.