Suponha que são números reais tais que
ã
Mostre que
é

Passo 1

O enunciado diz que
A = x + 1x, B = y + 1y, C = xy + 1xy
são inteiros, e pede para mostrar que
Wm,n = x^m y^n + 1x^m y^n
é inteiro para quaisquer inteiros m,n. O conteúdo principal é perceber que sequências do tipo uk = alpha^k + alpha^-k satisfazem recursões lineares de segunda ordem com coeficientes inteiros, e então usar dupla indução.

Passo 2

Defina a sequência
Um = x^m + x^-m
Então
U0 = 2, U1 = x + x^-1 = A,
e
Um+1 = x^m+1 + x^-m-1 = (x + x^-1)(x^m + x^-m) - (x^m-1+x^-m+1) = A,Um - Um-1
Como Ain Z, segue por indução em m que Umin Z para todo min Z.

Passo 3

Defina
Vn = x,y^n + x^-1y^-n
Note que
V0 = x + x^-1 = A, V1 = xy + (xy)^-1 = C
Multiplicando por B=y+1/y obtemos
B,Vn = (y + y^-1)(x y^n + x^-1y^-n) = x y^n+1 + x^-1y^-n-1 + x y^n-1 + x^-1y^-n+1 = Vn+1 + Vn-1,
ou seja,
Vn+1 = B,Vn - Vn-1
Como Bin Z e V0,V1in Z, segue por indução que Vnin Z para todo nin Z.

Passo 4

Finalmente, defina
Wm,n = x^m y^n + x^-m y^-n
Para cada fixo n, temos as condições iniciais
W0,n = y^n + y^-ne W1,n = Vn
Mas W0,n é análogo a Un aplicado a y, logo W0,nin Z; e W1,n=Vnin Z pelo passo anterior. Além disso, como A=x+1/x,
A,Wm,n = (x + x^-1)(x^m y^n + x^-my^-n) = x^m+1y^n + x^-m-1y^-n + x^m-1y^n + x^-m+1y^-n = Wm+1,n + Wm-1,n,
ou seja,
Wm+1,n = A,Wm,n - Wm-1,n
Como Ain Z e já sabemos W0,n,W1,nin Z, segue por indução em m que Wm,nin Z para todo min Z.

Resposta

Portanto
x^m y^n + 1x^m y^n
é inteiro para quaisquer inteiros m,n.

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