Suponha que
são números reais tais que
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
são inteiros, e pede para mostrar que
é inteiro para quaisquer inteiros
. O conteúdo principal é perceber que sequências do tipo
satisfazem recursões lineares de segunda ordem com coeficientes inteiros, e então usar dupla indução.
Passo 2
Defina a sequência
Então
e
Como
, segue por indução em
que
para todo
.
Passo 3
Defina
Note que
Multiplicando por
obtemos
ou seja,
Como
e
, segue por indução que
para todo
.
Passo 4
Finalmente, defina
Para cada fixo
, temos as condições iniciais
Mas
é análogo a
aplicado a
, logo
; e
pelo passo anterior. Além disso, como
,
ou seja,
Como
e já sabemos
, segue por indução em
que
para todo
.
Resposta
Portanto
é inteiro para quaisquer inteiros
.