Determine, se existirem, os valores de A, B, C e D tais que a função yp(t)=t cdot[A cdot sen(t)+B cdot cos (t)]+C. sen(t)+D cdot cos (t) seja solução particular da equação diferencial não-homogênea (2).
d^4 y(t)d t^4-2 cdot d^3 y(t)d t^3=t cdot cos (t)+sen(t)

Passo 1

Resumo da tarefa: a gente quer achar os valores de A, B, C e D tais que
yp(t)=tl[Asin(t)+Bcos(t)r]+Csin(t)+Dcos(t)
seja uma solução particular da equação
d^4ydt^4 - 2,d^3ydt^3 ;=; tcos(t)+sin(t)
Conteúdo envolvido: EDO linear de coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar derivar até a 4ª derivada, aplicar o operador L[y]=y^(4)-2y^(3) e igualar os coeficientes de tcos t, tsin t, cos t e sin t.

Passo 2

Calcular yp' e yp''.
  1. Começando com
yp = A,tsin t + B,tcos t + Csin t + Dcos t,
pela regra do produto (t f(t))' = f(t)+t f'(t) e l(sin tr)'=cos t,;(cos t)'=-sin t, dá
yp' = A(sin t + tcos t) + B(cos t - tsin t) + Ccos t - Dsin t
hspace22mm = A,tcos t - B,tsin t + (A - D)sin t + (B + C)cos t
  1. Derivando de novo:
yp'' = ddt[,A,tcos t - B,tsin t + (A-D)sin t + (B+C)cos t,]
hspace10mm = -A,tsin t - B,tcos t ;-;(2B + C)sin t ;+;(2A - D)cos t

Passo 3

Calcular yp''' e yp^(4).
3)
yp''' = ddtl[-A,tsin t - B,tcos t - (2B + C)sin t + (2A - D)cos tr]
hspace10mm = -A,tcos t + B,tsin t ;-;(3B + C)cos t ;-;(3A - D)sin t
yp^(4) = ddtl[-A,tcos t + B,tsin t - (3B + C)cos t - (3A - D)sin tr]
hspace10mm = A,tsin t + B,tcos t + (4B + C)sin t ;-;(4A - D)cos t

Passo 4

Aplicar o operador L[y]=y^(4)-2y^(3):
L[yp] = l[A,tsin t + B,tcos t + (4B + C)sin t - (4A - D)cos tr] -2l[-A,tcos t + B,tsin t - (3B + C)cos t - (3A - D)sin tr]
Ao simplificar e agrupar, dá
L[yp] = (B+2A),tcos t ;+;(A-2B),tsin t ;+;(6B+2C-4A+D)cos t ;+;(4B + C +6A -2D)sin t
Isso precisa bater com a forçante
;tcos t + sin t = 1cdot tcos t +0cdot tsin t +0cdotcos t +1cdotsin t

Passo 5

Comparando coeficientes, surge o sistema
B + 2A = 1, A - 2B = 0, 6B + 2C - 4A + D = 0, 4B + C + 6A - 2D = 1
Da segunda equação A=2B. Na primeira: 2(2B)+B=1implies5B=1implies B=tfrac15,;A=tfrac25.
Nas duas últimas:
6cdottfrac15 +2C -4cdottfrac25 +D=0;Longrightarrow;2C+D=tfrac25,
4cdottfrac15 +C +6cdottfrac25 -2D=1;Longrightarrow;C-2D=-tfrac115
Resolvendo esse par dá D=tfrac2425 e C=-tfrac725.

Resposta

A=tfrac25, B=tfrac15, C=-tfrac725, D=tfrac2425

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