Obtenha uma solução para o PVI:
d^2 yd t^2+4 d yd t+13 y=0, sujeito a y(0)=1, d y(0)d t=2

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um PVI (problema de valor inicial) que é uma EDO de 2ª ordem, homogênea, com coeficientes constantes:
d^2ydt^2 + 4,dydt + 13,y = 0,
sujeito a y(0)=1 e y'(0)=2.
Conteúdo: Equações Diferenciais Ordinárias lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes, usando a equação característica.
O que vamos precisar: montar e resolver a equação característica (usando a fórmula de Bhaskara), escrever a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

A gente monta a equação característica trocando d^2ydt^2to r^2, dydtto r e yto1:
r^2 + 4r + 13 = 0
Usando Bhaskara:
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot13 = 16 - 52 = -36,
ou seja, raízes complexas.
r = -4 pm raiz-362 = -2 pm 3i
Quando a gente tem r = alpha pm beta i, a solução geral é
y(t) = e^alpha tl(C1cos(beta t) + C2sin(beta t)r)
Aqui alpha=-2 e beta=3, então
y(t) = e^-2tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r)

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro precisamos de y'(t). Usando regra do produto em
y(t) = e^-2t(C1cos3t + C2sin3t),
temos
y'(t) = -2e^-2t(C1cos3t + C2sin3t) + e^-2t(-3C1sin3t + 3C2cos3t)
Avalia em t=0:
  • y(0)=C1 = 1.
  • y'(0) = -2(C1) + 3(C2) = 2. Como C1=1, fica -2 + 3C2 = 2 3C2=4 C2 = tfrac43.

Resposta

boxedy(t) = e^-2tl(cos(3t) + tfrac43,sin(3t)r)

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