Determine, se existirem, os valores de x in D(f), nos quais f(x) não é contínua:
xx^2-1, & se x^2 neq 1 0, & se x=-1

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar os pontos de descontinuidade de
– uma parte racional f(x)=xx^2-1 sempre que x^2neq1,
– e um valor fixo f(-1)=0.
O tema aqui é continuidade de funções racionais e peça-por-peça, e vamos usar definição de domínio, propriedades de funções racionais (contínuas em todo ponto do domínio) e limites laterais para identificar quebras.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio de f. A fórmula xx^2-1 só faz sentido quando o denominador x^2-1neq0, ou seja, xneqpm1. Como o enunciado define f(-1)=0, o domínio é
D(f)= Rsetminus1

Passo 3

Para qualquer xin D(f) com xneq-1, usamos a parte racional x/(x^2-1). Funções racionais são contínuas em todos os pontos onde estão definidas, então não há descontinuidade para xneqpm1 (e lembrando que +1 nem faz parte do domínio).

Passo 4

Agora, falta checar o ponto x=-1, onde foi definido f(-1)=0. Precisamos ver se
limxto-1xx^2-1
existe e é igual a f(-1)=0. Vamos aos limites laterais:
– Se xto-1^+, então x^2-1<0 muito pequeno e xapprox-1, logo
xx^2-1to +infty
– Se xto-1^-, então x^2-1>0 muito pequeno e xapprox-1, logo
xx^2-1to -infty
Como os limites laterais são infinitos (e nem iguais entre si), não existe limite finito em x=-1.

Passo 5

Portanto, em x=-1 temos descontinuidade do tipo assintótica. Não há nenhuma outra descontinuidade em D(f).

Resposta

x = -1

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