Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
sumn=1^infty n x^n1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)

Passo 1

Estamos com a série de potências sumn=1^infty n,x^n1cdot3cdot5cdots(2n-1). O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Identificamos o termo geral como anx^n, onde an=n1cdot3cdot5cdots(2n-1)

Passo 3

Aplicamos o teste da razão calculando L=limntoinfty|an+1,x^n+1an,x^n|=|x|limntoinftyan+1an

Passo 4

Para simplificar an+1/an usamos (2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)!! e obtemos an+1an=n+1ncdot(2n-1)!!(2n+1)!!=n+1n(2n+1)

Passo 5

Logo L=|x|limntoinftyn+1n(2n+1)=|x|cdot0=0<1 para todo xinR.
Como o teste da razão dá L<1 para qualquer x, o raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

Resposta

Raio de convergência R=infty. Intervalo de convergência (-infty,infty).

Exercícios relacionados