4 Em um sistema coordenado retangular um objeto está situado de maneira que a temperatura
no ponto
é dada por
. Determine a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
. Em que direção
cresce mais rapidamente em
? Qual a taxa máxima de variação?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura no ponto P=(4,-2,1) por T=4x2−y2+16z^2 e pede a taxa de variação na direção de u=(2,6,−3), a direção de maior crescimento de T em P e a taxa máxima. Isso envolve derivada direcional e gradiente.
Passo 2
Para usar derivada direcional, calculamos o gradiente de T:
Passo 3
Avaliando o gradiente em P=(4,-2,1) obtemos
Passo 4
Normalizamos u=(2,6,−3). O módulo é
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Passo 5
A derivada direcional em P é
Passo 6
A direção de máximo crescimento é a do gradiente. O vetor unitário nessa direção é
Passo 7
A taxa máxima de variação em P é o módulo do gradiente:
Resposta
A derivada direcional de T em P na direção de u é
. A direção de crescimento mais rápido é o vetor unitário
. A taxa máxima de variação em P é
.