4 Em um sistema coordenado retangular um objeto está situado de maneira que a temperatura T no ponto P=(x, y, z) é dada por T=4 x^2-y^2+16 z^2. Determine a taxa de variação de T no ponto P=(4,-2,1) na direção do vetor u=(2,6,-3). Em que direção T cresce mais rapidamente em P ? Qual a taxa máxima de variação?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura no ponto P=(4,-2,1) por T=4x2−y2+16z^2 e pede a taxa de variação na direção de u=(2,6,−3), a direção de maior crescimento de T em P e a taxa máxima. Isso envolve derivada direcional e gradiente.

Passo 2

Para usar derivada direcional, calculamos o gradiente de T:

Passo 3

Avaliando o gradiente em P=(4,-2,1) obtemos

Passo 4

Normalizamos u=(2,6,−3). O módulo é

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Passo 5

A derivada direcional em P é

Passo 6

A direção de máximo crescimento é a do gradiente. O vetor unitário nessa direção é

Passo 7

A taxa máxima de variação em P é o módulo do gradiente:

Resposta

A derivada direcional de T em P na direção de u é -tfrac87. A direção de crescimento mais rápido é o vetor unitário (8/raiz129,,1/raiz129,,8/raiz129). A taxa máxima de variação em P é 4raiz129.

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