Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots(2 n)1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1) x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potência
sumn=1^inftyanx^n, an=2cdot4cdot6cdots(2n)1cdot3cdot5cdots(2n-1)
Conteúdo: séries de potências e teste da razão para raio, e teste do termo geral nos extremos.

Passo 2

Para achar an+1an, note que nos produtos até 2n e (2n-1) tudo se cancela, sobrando apenas
an+1an=2,(n+1)2n+1

Passo 3

Aplicamos o teste da razão: consideramos
L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n|=limntoinfty2(n+1)2n+1,|x|=|x|
Logo a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1, o que dá raio de convergência R=1.

Passo 4

Precisamos checar os extremos. Para x=1 o termo geral é an, e como an+1/an>1 para todo n, an cresce e não tende a zero, logo diverge. Para x=-1 temos termos (-1)^nan mas annotto0, então também diverge.

Passo 5

Concluímos que a série só converge para |x|<1, ou seja, no intervalo aberto (-1,1).

Resposta

Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: (-1,1).

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