Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potência
Conteúdo: séries de potências e teste da razão para raio, e teste do termo geral nos extremos.
Passo 2
Para achar , note que nos produtos até e tudo se cancela, sobrando apenas
Passo 3
Aplicamos o teste da razão: consideramos
Logo a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1, o que dá raio de convergência R=1.
Passo 4
Precisamos checar os extremos. Para x=1 o termo geral é an, e como an+1/an>1 para todo n, an cresce e não tende a zero, logo diverge. Para x=-1 temos termos (-1)^nan mas annotto0, então também diverge.
Passo 5
Concluímos que a série só converge para |x|<1, ou seja, no intervalo aberto (-1,1).
Resposta
Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: (-1,1).