Nos itens abaixo determine a derivada direcional de f no ponto P na direção de P para Q. Determine também a direção segundo a qual f cresce mais rapidamente em P, bem como a taxa máxima de crescimento.
f(x, y, z)=raizx^+ y^2+z^2, P=(-2,3,1), Q=(3,1,4).

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2, o ponto P=(-2,3,1) e o ponto Q=(3,1,4). Precisamos achar a derivada direcional de f em P na direção de PQ, depois a direção de crescimento máximo em P e a taxa máxima de crescimento.

Passo 2

O gradiente de f dá a taxa de variação em qualquer direção. Como f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2, usamos nabla f=l(partial f/partial x,,partial f/partial y,,partial f/partial zr). Derivando, temos
nabla f(x,y,z)=(xraizx^2+y^2+z^2,;yraizx^2+y^2+z^2,;zraizx^2+y^2+z^2)

Passo 3

Avaliando em P=(-2,3,1), o valor dentro da raiz é $ (-2)2+32+1^2=14$ e (-2)^2+3^2+1^2=14. Logo
raiz14neq0

Passo 4

Calculamos PQ=Q-P=(3-(-2),,1-3,,4-1)=(5,-2,3) e seu módulo
|PQ|=raiz5^2+(-2)^2+3^2=raiz38
O versor u na direção de Pto Q é
u=1raiz38(5,-2,3)

Passo 5

A derivada direcional em P na direção de u é
Duf(P)=nabla f(P)cdot u =(-2raiz14,3raiz14,1raiz14)cdot 1raiz38(5,-2,3)
Fazendo o produto escalar:
Duf(P)=1raiz14,raiz38l(-2cdot5+3cdot(-2)+1cdot3r) =-10-6+3raiz14cdot38 =-13raiz532 = -132raiz133

Passo 6

A direção de crescimento máximo em P é a do gradiente nabla f(P) e a taxa máxima de crescimento é o seu módulo. Note que
l|nabla f(P)r|=raiz(-2)^2+3^2+1^214=raiz1414=1
Como nabla f(P) já é unitário, ele mesmo indica a direção de maior subida.

Passo 7

Portanto, a derivada direcional de f em P na direção de Pto Q é -13/(2raiz133), a direção de maior crescimento é l(-2/raiz14,,3/raiz14,,1/raiz14r) e a taxa máxima de crescimento é 1.

Resposta

Derivada direcional: -13/(2√133). Direção de maior crescimento: (-2/√14, 3/√14, 1/√14). Taxa máxima de crescimento: 1.

Exercícios relacionados