Nos itens abaixo determine a derivada direcional de no ponto na direção de para . Determine também a direção segundo a qual cresce mais rapidamente em , bem como a taxa máxima de crescimento. .
Passo 1
Temos a função , o ponto e o ponto . Precisamos achar a derivada direcional de em na direção de , depois a direção de crescimento máximo em P e a taxa máxima de crescimento.
Passo 2
O gradiente de f dá a taxa de variação em qualquer direção. Como f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2, usamos nabla f=l(partial f/partial x,,partial f/partial y,,partial f/partial zr). Derivando, temos
A direção de crescimento máximo em P é a do gradiente nabla f(P) e a taxa máxima de crescimento é o seu módulo. Note que
l|nabla f(P)r|=raiz(-2)^2+3^2+1^214=raiz1414=1
Como nabla f(P) já é unitário, ele mesmo indica a direção de maior subida.
Passo 7
Portanto, a derivada direcional de f em P na direção de Pto Q é -13/(2raiz133), a direção de maior crescimento é l(-2/raiz14,,3/raiz14,,1/raiz14r) e a taxa máxima de crescimento é 1.
Resposta
Derivada direcional: -13/(2√133). Direção de maior crescimento: (-2/√14, 3/√14, 1/√14). Taxa máxima de crescimento: 1.