Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
;
Passo 1
O problema pede a expansão de Laurent de
em torno de cada singularidade. O conteúdo principal que vamos usar é a série de Taylor de
e a definição de série de Laurent (potências positivas e negativas de
).
Passo 2
Identificamos as singularidades de
:
– tem singularidade essencial em
.
– é, portanto, a única singularidade isolada de
no plano complexo (fora disso
é inteira).
–
–
Passo 3
Lembrando que para todo
vale
substituímos
para obter a expansão de
:
Passo 4
Multiplicamos a série acima por
para chegar à série de Laurent de
:
Passo 5
Separamos as potências não negativas (parte analítica) e as potências negativas (parte principal):
- Para
os expoentes são , gerando os termos
- Para
os expoentes são negativos, dando a parte principal
Passo 6
A série de
converge para todo
, então a expansão de Laurent de
converge no anel
ou seja, no plano pontuado
.
Resposta
válida para
.