Determine a expansão de Laurent da função dada em torno de cada uma de suas singularidades, especificando o anel no qual ela é válida.
f(z)=z^3 e^1 / z;

Passo 1

O problema pede a expansão de Laurent de
f(z)=z^3e^1/z
em torno de cada singularidade. O conteúdo principal que vamos usar é a série de Taylor de e^w e a definição de série de Laurent (potências positivas e negativas de z).

Passo 2

Identificamos as singularidades de f:
e^1/z tem singularidade essencial em z=0.
z=0 é, portanto, a única singularidade isolada de f no plano complexo (fora disso f é inteira).

Passo 3

Lembrando que para todo w vale
e^w=sumn=0^inftyw^nn!,
substituímos w=1/z para obter a expansão de e^1/z:
e^1/z=sumn=0^infty1n!,z^-n

Passo 4

Multiplicamos a série acima por z^3 para chegar à série de Laurent de f:
f(z)=z^3e^1/z =sumn=0^infty1n!,z^3-n

Passo 5

Separamos as potências não negativas (parte analítica) e as potências negativas (parte principal):
  • Para n=0,1,2,3 os expoentes 3-n são 3,2,1,0, gerando os termos
    ;z^3,,z^2,,z^1,,z^0
  • Para n>=4 os expoentes 3-n são negativos, dando a parte principal
    sumn=4^infty1n!,z^3-n

Passo 6

A série de e^1/z converge para todo zneq0, então a expansão de Laurent de f converge no anel
0<|z|<infty,
ou seja, no plano pontuado Csetminus0.

Resposta

f(z)=z^3e^1/z =sumn=0^infty1n!,z^3-n,
válida para 0<|z|<infty.

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