Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=e^xraizx em x=1.
(R: y=(e / 2) x+e / 2)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=e^xraizx e queremos a reta tangente em x=1. O conteúdo envolvido é derivada de funções e a equação da reta tangente usando ponto e coeficiente angular.

Passo 2

Calculamos o valor da função no ponto: f(1)=e^1raiz1=e.

Passo 3

Encontramos a derivada f'(x) usando a regra do produto. Escrevendo f(x)=e^xx^-1/2, aplicamos a derivada: f'(x)=e^xx^-1/2+e^x(-tfrac12)x^-3/2. Fatorando e^xx^-3/2 obtemos f'(x)=e^xx^-3/2(x-tfrac12)=e^x(2x-1)2x^3/2.

Passo 4

Avalia-se a derivada em x=1: f'(1)=e^1(2cdot1-1)2cdot1^3/2=e2. Então o coeficiente angular da reta tangente é m=tfrace2.

Passo 5

Montamos a equação da reta tangente usando a forma ponto-coeficiente: y-f(1)=f'(1)(x-1). Substituindo f(1)=e e f'(1)=e/2 vem y-e=tfrace2(x-1). Simplificando, obtemos y=tfrace2x+tfrace2.

Resposta

y=e2x+e2

Exercícios relacionados