Determine os pontos de máximo relativo, mínimo relativo e de sela que existirem na função
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar pontos de máximo relativo, mínimo relativo e de sela da função
. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para encontrar pontos críticos (onde o gradiente se anula) e aplicação do teste da segunda derivada (matriz Hessiana) para classificação desses pontos.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a x:
Derivada parcial em relação a x:
Derivada parcial em relação a y:
Passo 3
Igualar as derivadas a zero e resolver o sistema:
Da segunda equação temos os casos
ou
. Substituindo no primeiro obtemos os pontos críticos
,
,
e
.
Passo 4
Formar a matriz Hessiana e o determinante:
Determinante:
Passo 5
Avaliar
e
em cada ponto crítico:
- Em
: , ⇒ mínimo relativo. - Em
: , ⇒ máximo relativo. - Em
e : ⇒ pontos de sela.
Resposta
Máximo relativo em
; mínimo relativo em
; pontos de sela em
e
.