Determine os pontos de máximo relativo, mínimo relativo e de sela que existirem na função f(x, y)=x^3+3 x y^2-3 x^2-3 y^2+4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar pontos de máximo relativo, mínimo relativo e de sela da função f(x,y)=x^3+3xy^2-3x^2-3y^2+4. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para encontrar pontos críticos (onde o gradiente se anula) e aplicação do teste da segunda derivada (matriz Hessiana) para classificação desses pontos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a x:
fx(x,y)=3x^2+3y^2-6x=3l(x^2+y^2-2xr)
Derivada parcial em relação a y:
fy(x,y)=6xy-6y=6y(x-1)

Passo 3

Igualar as derivadas a zero e resolver o sistema:
x^2+y^2-2x=0,
y(x-1)=0
Da segunda equação temos os casos y=0 ou x=1. Substituindo no primeiro obtemos os pontos críticos (2,0), (0,0), (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Formar a matriz Hessiana e o determinante:
H(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy=6x-6&6y6y&6x-6
Determinante:
D(x,y)=(6x-6)^2-(6y)^2=36l((x-1)^2-y^2r)

Passo 5

Avaliar D e fxx em cada ponto crítico:
  • Em (2,0): D=36, fxx=6>0 ⇒ mínimo relativo.
  • Em (0,0): D=36, fxx=-6<0 ⇒ máximo relativo.
  • Em (1,1) e (1,-1): D=-36<0 ⇒ pontos de sela.

Resposta

Máximo relativo em (0,0); mínimo relativo em (2,0); pontos de sela em (1,1) e (1,-1).

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