Determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar a série de potências de
em torno de
. Vamos usar conhecimentos de série geométrica e derivação de séries de potências.
Passo 2
Lembrando que a série geométrica é dada por
válida para
.
Se derivarmos termo a termo ambos os lados em relação a , temos
Se derivarmos termo a termo ambos os lados em relação a
e
portanto
Passo 3
Multiplicando por
e reindexando a soma (definindo
), obtemos
Passo 4
A condição de convergência não muda: essa expansão vale para
, mesmo intervalo da série geométrica original.
Resposta
A expansão em série de potências é
e ela é válida para
.