Determine as expansões em séries de potências em torno de x0=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
1(1+x)^2

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar a série de potências de f(x)=1(1+x)^2 em torno de x0=0. Vamos usar conhecimentos de série geométrica e derivação de séries de potências.

Passo 2

Lembrando que a série geométrica é dada por
11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n
válida para |x|<1.
Se derivarmos termo a termo ambos os lados em relação a x, temos
ddxl(11+xr)=-1(1+x)^2
e
sumn=0^infty(-1)^n n x^n-1
portanto
-1(1+x)^2=sumn=0^infty(-1)^n n x^n-1 .

Passo 3

Multiplicando por -1 e reindexando a soma (definindo m=n-1), obtemos
1(1+x)^2=sumn=0^infty(-1)^n (n+1)x^n .

Passo 4

A condição de convergência não muda: essa expansão vale para |x|<1, mesmo intervalo da série geométrica original.

Resposta

A expansão em série de potências é
1(1+x)^2=sumn=0^infty(-1)^n (n+1)x^n
e ela é válida para |x|<1.

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