Expanda f(z)=z(z+1)(z-2) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
|z+1|>3

Passo 1

A função é f(z)=z(z+1)(z-2). Precisamos da série de Laurent em torno de z=-1, convergente para |z+1|>3. Para isso, vamos usar frações parciais e depois expandir geometricamente em potências de 1/(z+1).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: buscamos A e B tais que z(z+1)(z-2)=Az+1 + Bz-2. Igualando numeradores: z = A(z-2) + B(z+1). Comparando coeficientes, obtemos A=13 e B=23.

Passo 3

Introduzimos w = z+1. Assim z = w-1 e z-2 = w-3. A decomposição fica
f(z)=1/3w + 2/3w-3

Passo 4

Para |w|>3, expandimos 1/(w-3) como série geométrica:
1w-3 = 1w,11-3/w = sumn=0^infty 3^nw^n+1
Substituindo em f:
f(z) = 131w + 23 sumn=0^infty 3^nw^n+1

Passo 5

Juntando termos, para o termo 1/w temos 13+23=1. Para n>=1, o coeficiente de 1/w^n+1 é 233^n = 2cdot3^n-1. Logo a série em w é
1w + sumn=1^infty 2cdot3^n-1w^n+1 = 1w + 2w^2 + 2cdot3w^3 + cdots
Voltando para z, temos
f(z)=1z+1 + 2(z+1)^2 + 2cdot3(z+1)^3 + cdots, |z+1|>3

Resposta

f(z)=1z+1 + sumn=0^infty 2cdot3^n(z+1)^n+2, |z+1|>3

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