Use as séries do exercício anterior para calcular:
sumn=1^infty (-1)^n5^n(n-1)

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty (-1)^n5^n(n-1). O conteúdo principal aqui são séries de potências e suas relações com logaritmos, em especial a expansão de ln(1+t).

Passo 2

O termo para n=1 é indefinido pois divide por zero. Então reescrevemos o somatório a partir de n=2 e fazemos a mudança de índice k = n-1. Assim
sumn=1^infty (-1)^n5^n(n-1) = sumn=2^infty (-1)^n5^n(n-1) = sumk=1^infty (-1)^k+15^k+1k

Passo 3

Para ligar com a série de logaritmo usamos a expansão conhecida
ln(1+t)=sumk=1^infty(-1)^k-1,t^kk, |t|<1

Passo 4

Escolhendo t=tfrac15 temos
lnl(1+tfrac15r)=sumk=1^infty(-1)^k-115^kk

Passo 5

No nosso somatório aparece (-1)^k+1)/(5^k+1k), que é igual a
sumk=1^infty(-1)^k+15^k+1k = -15sumk=1^infty(-1)^k-115^kk = -15,lnl(1+tfrac15r)times(-1) = 15lnl(tfrac65r)

Resposta

sumn=1^infty (-1)^n5^n(n-1) = 15lnl(tfrac65r)

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