Determine as expansões em séries de potências em torno de x0=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
1(1+x)^3

Passo 1

A questão pede a expansão em série de potências de f(x)=1(1+x)^3 em torno de x0=0. O conteúdo principal é a série binomial generalizada para expoentes reais, e vamos usar também o teste da razão para determinar o intervalo de validade.

Passo 2

A série binomial generalizada afirma que
(1+x)^alpha= sumn=0^infty binomalphan,x^n
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!
e essa expansão converge para |x|<1.

Passo 3

No nosso caso temos alpha=-3. Calculamos
binom-3n =(-3)(-4)cdots(-3-n+1)n! =(-1)^n(n+2)!2!,n! =(-1)^n(n+2)(n+1)2

Passo 4

Substituindo na série binomial, obtemos
1(1+x)^3 =sumn=0^infty (-1)^n(n+2)(n+1)2,x^n
Para confirmar o intervalo de validade, aplicamos o teste da razão em geral e vemos que o limite das razões dos termos leva a |x|<1. Portanto a expansão converge exatamente para |x|<1.

Resposta

1(1+x)^3=sumn=0^infty(-1)^n(n+2)(n+1)2,x^n,válido para |x|<1á

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