Determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
A questão pede a expansão em série de potências de
em torno de
. O conteúdo principal é a série binomial generalizada para expoentes reais, e vamos usar também o teste da razão para determinar o intervalo de validade.
Passo 2
A série binomial generalizada afirma que
onde
e essa expansão converge para
.
Passo 3
No nosso caso temos
. Calculamos
Passo 4
Substituindo na série binomial, obtemos
Para confirmar o intervalo de validade, aplicamos o teste da razão em geral e vemos que o limite das razões dos termos leva a
. Portanto a expansão converge exatamente para
.