Expanda
em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
A questão pede a expansão de
como série de Laurent em torno de
, válida para o anel definido por
. Vamos usar frações parciais e depois desenvolver em série de potências em
.
Passo 2
Fazendo a mudança de variável
, temos
e
Identificamos dois polos simples em
e
.
Passo 3
Aplicamos frações parciais: buscamos constantes
e
tais que
Multiplicando por
e igualando coeficientes de
e termo constante, obtemos
Logo,
e
, ou seja,
e
.
Passo 4
Reescrevendo
em frações parciais:
$$f(z)=\frac{2/3}{w}+\frac{1/3}{w+3}.
$$
O termo
já está na forma de Laurent (poder negativo).
Passo 5
Para expandir
como série em potências positivas de
válida para
, escrevemos
Multiplicando por
(o valor de
), obtemos
$$\frac{1/3}{w+3}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{3{n+2}},wn.
$$
Passo 6
Somando os dois termos, a série de Laurent para
em torno de
fica:
$$f(z)=\frac{2}{3},\frac{1}{w}+\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{3{n+2}},wn,
$$
onde
e a série converge para
, isto é,
.