Expanda f(z)=z(z+1)(z-2) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z-2|<3

Passo 1

A questão pede a expansão de
f(z)=z(z+1)(z-2)
como série de Laurent em torno de z=2, válida para o anel definido por 0<|z-2|<3. Vamos usar frações parciais e depois desenvolver em série de potências em w=z-2.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável w=z-2, temos z=w+2 e
f(z)=w+2(w+2+1)(w+2-2)=w+2(w+3)w
Identificamos dois polos simples em w=0 e w=-3.

Passo 3

Aplicamos frações parciais: buscamos constantes A e B tais que
w+2w(w+3)=Aw+Bw+3
Multiplicando por w(w+3) e igualando coeficientes de w e termo constante, obtemos
w+2=A(w+3)+Bw=(A+B)w+3A
Logo, A+B=1 e 3A=2, ou seja, A=2/3 e B=1/3.

Passo 4

Reescrevendo f em frações parciais:
$$f(z)=\frac{2/3}{w}+\frac{1/3}{w+3}.
$$
O termo f(z)=2/3w+1/3w+3 já está na forma de Laurent (poder negativo).

Passo 5

Para expandir 1/(w+3) como série em potências positivas de w válida para |w|<3, escrevemos
1w+3=13,11+w3 =13sumn=0^infty(-1)^nl(w3r)^n =sumn=0^infty(-1)^n3^n+1,w^n
Multiplicando por 1/3 (o valor de B), obtemos
$$\frac{1/3}{w+3}=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{3{n+2}},wn.
$$

Passo 6

Somando os dois termos, a série de Laurent para f(z) em torno de z=2 fica:
$$f(z)=\frac{2}{3},\frac{1}{w}+\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)n}{3{n+2}},wn,
$$
onde f(z)=23,1w+sumn=0^infty(-1)^n3^n+2,w^n, e a série converge para w=z-2, isto é, 0<|w|<3.

Resposta

f(z)=23,1z-2+sumn=0^infty(-1)^n3^n+2,(z-2)^n, 0<|z-2|<3

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