Determine as expansões em séries de potências em torno de x0=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:

Passo 1

A questão pede a expansão em série de potências em torno de x₀=0 da função ln\left(1/(1+3x²)\right). O conteúdo é séries de potências e a fórmula de expansão de ln(1+u). Vamos usar essa fórmula para obter a série e depois determinar o raio de convergência.

Passo 2

Observamos que ln\left(\frac{1}{1+3x²}\right) = -\ln(1+3x²). Assim podemos concentrar na expansão de ln(1+u) com u=3x².

Passo 3

A fórmula conhecida para ln(1+u) é:
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn, |u|<1
Substituindo u=3x² na série de ln(1+u) temos:
$$\ln(1+3x²)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{(3x²)^n}{n}
=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{3n}{n}x{2n}. ln(1+3x²)=sumn=1^infty(-1)^n-1(3x²)^nn =sumn=1^infty(-1)^n-13^nnx^2n²\ln\Bigl(\tfrac{1}{1+3x²}\Bigr)=\sum_{n=1}{\infty}(-1)n\frac{3n}{n}x{2n}.$$

Passo 4

Para garantir a convergência dessa série precisamos de |u|<1, ou seja |3x²|<1. Daí vem |x|<1/\sqrt{3}.

Resposta

lnl(11+3x^2r)=sumn=1^infty(-1)^n3^nnx^2n, válida para |x|<1raiz3 á

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