Determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
A questão pede a expansão em série de potências em torno de x₀=0 da função ln\left(1/(1+3x²)\right). O conteúdo é séries de potências e a fórmula de expansão de ln(1+u). Vamos usar essa fórmula para obter a série e depois determinar o raio de convergência.
Passo 2
Observamos que ln\left(\frac{1}{1+3x²}\right) = -\ln(1+3x²). Assim podemos concentrar na expansão de ln(1+u) com u=3x².
Passo 3
A fórmula conhecida para ln(1+u) é:
Substituindo u=3x² na série de ln(1+u) temos:
$$\ln(1+3x²)=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{(3x²)^n}{n}
=\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}\frac{3n}{n}x{2n}.
\ln\Bigl(\tfrac{1}{1+3x²}\Bigr)=\sum_{n=1}{\infty}(-1)n\frac{3n}{n}x{2n}.$$
Passo 4
Para garantir a convergência dessa série precisamos de |u|<1, ou seja |3x²|<1. Daí vem |x|<1/\sqrt{3}.