Determine as expansões em séries de potências em torno de x0=0 das seguintes funções e os valores de x para os quais essas expansões são válidas:
2 x1+x^4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a expansão em série de potências em torno de 0 da função f(x)=2x1+x^4 e determinar para quais x essa expansão converge. O tema aqui é séries de potências e, em particular, a série geométrica. Vamos usar a fórmula de série geométrica para 11+u.

Passo 2

Lembrando que, para |u|<1, temos a série geométrica alternada
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
essa expressão é válida sempre que |u|<1.

Passo 3

Agora fazemos a substituição u=x^4 na série geométrica. Assim,
11+x^4=sumn=0^infty(-1)^n x^4n
permanece válida enquanto |x^4|<1, isto é, |x|<1.

Passo 4

Em seguida, multiplicamos essa expansão por 2x, pois nossa função é 2x/(1+x^4). Logo,
2x1+x^4=2xsumn=0^infty(-1)^n x^4n=sumn=0^infty2(-1)^n x^4n+1
Esse é o termo geral da expansão em série de potências.

Passo 5

Para determinar o intervalo (ou raio) de convergência, basta voltar à condição |x^4|<1, que equivale a |x|<1. Portanto, a série convergem para todos os x tais que |x|<1.

Resposta

A expansão em série de potências em torno de 0 é
2x1+x^4=sumn=0^infty2(-1)^n x^4n+1
e ela converge para |x|<1.

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