Determine as expansões em séries de potências em torno de
das seguintes funções e os valores de
para os quais essas expansões são válidas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a expansão em série de potências em torno de 0 da função
e determinar para quais
essa expansão converge. O tema aqui é séries de potências e, em particular, a série geométrica. Vamos usar a fórmula de série geométrica para
.
Passo 2
Lembrando que, para
, temos a série geométrica alternada
essa expressão é válida sempre que
Passo 3
Agora fazemos a substituição
na série geométrica. Assim,
permanece válida enquanto
Passo 4
Em seguida, multiplicamos essa expansão por
, pois nossa função é
. Logo,
Esse é o termo geral da expansão em série de potências.
Passo 5
Para determinar o intervalo (ou raio) de convergência, basta voltar à condição
, que equivale a
. Portanto, a série convergem para todos os
tais que
.
Resposta
A expansão em série de potências em torno de 0 é
e ela converge para
.