Expanda f(z)=1z(1-z)^2 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z|<1

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos expandir em série de Laurent a função f(z)=1z(1-z)^2 no domínio anelar 0<|z|<1. O conteúdo principal é séries de potências e a derivação de séries para obter 1/(1-z)^2.

Passo 2

Para |z|<1, a série geométrica é
11-z = sumn=0^infty z^n
Derivando em relação a z, temos
ddz11-z = 1(1-z)^2,
ddzsumn=0^infty z^n = sumn=0^infty n,z^n-1
Logo,
1(1-z)^2 = sumn=0^infty (n+1),z^n

Passo 3

Agora escrevemos
f(z)=1zcdot1(1-z)^2
e substituímos a série de 1/(1-z)^2, obtendo
f(z)=1zsumn=0^infty(n+1)z^n = sumn=0^infty(n+1)z^n-1

Passo 4

Para colocar em forma de Laurent padrão, definimos k=n-1, o que dá n=k+1. Então
f(z)=sumk=-1^infty(k+2)z^k,
válido para 0<|z|<1.

Resposta

f(z)=sumk=-1^infty(k+2),z^k, 0<|z|<1

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