Expanda f(z)=1(z-2)(z-1)^3 em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z-2|<1

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função f(z)=1(z-2)(z-1)^3 em série de Laurent válida em 0<|z-2|<1. O conteúdo envolvido é série de Laurent centrada em z=2 e usaremos a expansão do binômio para potências negativas.

Passo 2

Para facilitar, definimos w=z-2. Assim
z-1=(z-2)+1=w+1
e a função fica
f(z)=1(z-2)(z-1)^3=1w,(1+w)^3

Passo 3

Agora usamos a expansão do binômio para |w|<1:
(1+w)^-3=sumn=0^inftybinomn+22(-1)^n w^n,onde;binomn+22=(n+2)(n+1)2

Passo 4

Multiplicando por 1/w, obtemos a série de Laurent de f:
f(z)=1w,(1+w)^-3=sumn=0^inftybinomn+22(-1)^n w^n-1

Passo 5

Voltando a w=z-2, a expansão fica
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(n+2)(n+1)2,(z-2)^n-1,0<|z-2|<1

Resposta

f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(n+2)(n+1)2,(z-2)^n-1,0<|z-2|<1

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