Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=5^{3 x^{2}+4 x}+\left(3 x^{2}+4 x+\pi\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
y=5^{3 x^{2}+4 x}+\left(3 x^{2}+4 x+\pi\right)^{5}.
Informações relevantes dadas:
\text{Primeiro termo: }5^{3 x^{2}+4 x}.
\text{Segundo termo: }\left(3 x^{2}+4 x+\pi\right)^{5}.
A tarefa é calcular y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar um conceito essencial: a regra da cadeia. Se temos uma função composta \;h(x)=f(g(x))\;, a derivada é dada por
h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivamos a função externa f em relação ao seu argumento e multiplicamos pelo derivado da função interna g. Vou usar isso nas duas parcelas da função.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \;5^{3x^{2}+4x}.
Primeiro passo técnico: reescrever a exponencial de base 5 em termos de e para facilitar a diferenciação:
5^{3x^{2}+4x}=e^{(3x^{2}+4x)\ln 5}.
Agora aplicamos a regra da cadeia: se u(x)=3x^{2}+4x, então
\frac{d}{dx}5^{u(x)}=\frac{d}{dx}e^{u(x)\ln 5}=e^{u(x)\ln 5}\cdot\big(u(x)\ln 5\big)'.
Calculando o derivado interno,
\big(u(x)\ln 5\big)'=u'(x)\ln 5.
Portanto a fórmula geral que usaremos é
\frac{d}{dx}5^{u(x)}=5^{u(x)}\ln 5\cdot u'(x).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: defina
u_1(x)=3x^{2}+4x.
Derivando u_1:
u_1'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}+4x)=6x+4.
Logo a derivada do primeiro termo é
\frac{d}{dx}\big(5^{3x^{2}+4x}\big)=5^{3x^{2}+4x}\ln 5\cdot(6x+4).

Passo 5

Derivada do segundo termo \;\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{5}.
Usamos a regra da potência composta (que é a regra da cadeia aplicada à potência): se v(x) é uma função e n é constante, então
\frac{d}{dx}\big(v(x)^{n}\big)=n\,v(x)^{\,n-1}\cdot v'(x).
Aqui a função externa é t\mapsto t^{5} e a função interna é v(x)=3x^{2}+4x+\pi.

Passo 6

Calcule v(x) e seu derivado:
v(x)=3x^{2}+4x+\pi,
v'(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}+4x+\pi)=6x+4,
pois \pi é constante e sua derivada é 0.
Aplicando a regra da potência composta:
\frac{d}{dx}\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{5}=5\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{4}\cdot(6x+4).

Passo 7

Somando as derivadas dos dois termos (derivada de soma é soma das derivadas), obtemos
y'=5^{3x^{2}+4x}\ln 5\cdot(6x+4)+5\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{4}\cdot(6x+4).
Podemos fatorar o fator comum (6x+4) para deixar mais enxuto:
y'=(6x+4)\left[\,5^{3x^{2}+4x}\ln 5+5\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{4}\right].

Resposta

y'=5^{3x^{2}+4x}\ln 5\cdot(6x+4)+5\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{4}\cdot(6x+4)
\text{ou equivalently}\quad y'=(6x+4)\left[\,5^{3x^{2}+4x}\ln 5+5\big(3x^{2}+4x+\pi\big)^{4}\right].

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