Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
Informações relevantes dadas:
A tarefa é calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar um conceito essencial: a regra da cadeia. Se temos uma função composta
, a derivada é dada por
Isto significa: derivamos a função externa
em relação ao seu argumento e multiplicamos pelo derivado da função interna
. Vou usar isso nas duas parcelas da função.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Primeiro passo técnico: reescrever a exponencial de base
em termos de
para facilitar a diferenciação:
Agora aplicamos a regra da cadeia: se
, então
Calculando o derivado interno,
Portanto a fórmula geral que usaremos é
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: defina
Derivando
:
Logo a derivada do primeiro termo é
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
Usamos a regra da potência composta (que é a regra da cadeia aplicada à potência): se
é uma função e
é constante, então
Aqui a função externa é
e a função interna é
.
Passo 6
Calcule
e seu derivado:
pois
é constante e sua derivada é
.
Aplicando a regra da potência composta:
Passo 7
Somando as derivadas dos dois termos (derivada de soma é soma das derivadas), obtemos
Podemos fatorar o fator comum
para deixar mais enxuto: