Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=5^{\operatorname{sec} x}+\frac{e^{\operatorname{tg} x}}{2}-\frac{3}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes” e dá a função
y=5^{\operatorname{sec} x}+\frac{e^{\operatorname{tg} x}}{2}-\frac{3}{\cos x}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\;y é uma função de x composta por três parcelas:
\text{(i)}\quad 5^{\operatorname{sec} x},\qquad \text{(ii)}\quad \frac{e^{\operatorname{tg} x}}{2},\qquad \text{(iii)}\quad -\frac{3}{\cos x}.
A tarefa é calcular y', a derivada de y em relação a x. Não vou resolver nada aqui; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) as regras de derivação que vamos precisar. Primeiro, regra para exponencial de base a com expoente que depende de x: se u=u(x),
\frac{d}{dx}\big(a^{u(x)}\big)=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
O que isso significa: diferenciar a^{u(x)} é como multiplicar a própria função a^{u(x)} por \ln(a) e por a derivada do expoente u'(x). Exemplinho rápido: \frac{d}{dx}2^{x^2}=2^{x^2}\ln 2\cdot 2x.

Passo 3

Regra para exponencial natural com função no expoente: se u=u(x),
\frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui não aparece \ln porque \ln(e)=1.

Passo 4

Regra da cadeia (que usamos sempre que temos uma função composta): se y=F(u(x)) então
y' = F'(u(x))\cdot u'(x).
Na prática: primeiro derivamos a parte externa como se u fosse uma variável, e depois multiplicamos pela derivada da parte interna u'(x).

Passo 5

Derivadas das funções trigonométricas que aparecem aqui (e como obtê-las rapidamente):
  • \operatorname{sec} x = \dfrac{1}{\cos x}. Podemos derivar \operatorname{sec} x usando a regra da cadeia e a derivada de \cos x:
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -1\cdot(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Agora note que \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=\dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{sec} x\tan x. Portanto
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\,\tan x.
  • Para \operatorname{tg} x (mesma coisa que \tan x), podemos usar \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente; o resultado conhecido e útil é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big)=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.
Mostrei como chegar a isso: derive \sin x e \cos x e aplique a regra do quociente, simplifica e dá \operatorname{sec}^2 x.

Passo 6

Agora derivamos termo a termo usando as regras acima.
Termo 1: 5^{\operatorname{sec} x}.
Usamos a regra do expoente com base a=5 e a regra da cadeia, com u(x)=\operatorname{sec} x:
\frac{d}{dx}\big(5^{\operatorname{sec} x}\big)=5^{\operatorname{sec} x}\ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x).
Substituindo \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x (do Passo 5),
\frac{d}{dx}\big(5^{\operatorname{sec} x}\big)=5^{\operatorname{sec} x}\ln 5\cdot \operatorname{sec} x\tan x.
Termo 2: \dfrac{e^{\operatorname{tg} x}}{2}.
Constante multiplicativa 1/2 sai na frente. Aplicando a regra de e^{u(x)} com u(x)=\operatorname{tg} x,
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{\operatorname{tg} x}}{2}\right)=\frac{1}{2}\,e^{\operatorname{tg} x}\cdot\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big).
Substituindo \frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big)=\operatorname{sec}^2 x,
\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{\operatorname{tg} x}}{2}\right)=\frac{1}{2}\,e^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sec}^2 x.
Termo 3: -\dfrac{3}{\cos x}.
Observe que -\dfrac{3}{\cos x}=-3\operatorname{sec} x. Derivando,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{3}{\cos x}\right)=-3\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=-3\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 7

Somando as derivadas dos três termos (porque a derivada de soma é soma das derivadas), obtemos a derivada total:
y'=5^{\operatorname{sec} x}\ln 5\cdot \operatorname{sec} x\tan x \;+\; \frac{1}{2}\,e^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sec}^2 x \;-\; 3\operatorname{sec} x\tan x.
Se quiser, dá para fatorar \operatorname{sec} x\tan x nos termos 1 e 3:
y'=(5^{\operatorname{sec} x}\ln 5-3)\operatorname{sec} x\tan x+\frac{1}{2}e^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sec}^2 x.

Resposta

y'=5^{\operatorname{sec} x}\ln 5\cdot \operatorname{sec} x\tan x+\frac{1}{2}\,e^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sec}^2 x-3\operatorname{sec} x\tan x

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