Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes” e dá a função
Informações relevantes que o enunciado fornece:
é uma função de
composta por três parcelas:
A tarefa é calcular
, a derivada de
em relação a
. Não vou resolver nada aqui; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) as regras de derivação que vamos precisar. Primeiro, regra para exponencial de base
com expoente que depende de
: se
,
O que isso significa: diferenciar
é como multiplicar a própria função
por
e por a derivada do expoente
. Exemplinho rápido:
.
Passo 3
Regra para exponencial natural com função no expoente: se
,
Aqui não aparece
porque
.
Passo 4
Regra da cadeia (que usamos sempre que temos uma função composta): se
então
Na prática: primeiro derivamos a parte externa como se
fosse uma variável, e depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Passo 5
Derivadas das funções trigonométricas que aparecem aqui (e como obtê-las rapidamente):
-
. Podemos derivar usando a regra da cadeia e a derivada de :
Agora note que
. Portanto
- Para
(mesma coisa que ), podemos usar e a regra do quociente; o resultado conhecido e útil é
Mostrei como chegar a isso: derive
e
e aplique a regra do quociente, simplifica e dá
.
Passo 6
Agora derivamos termo a termo usando as regras acima.
Termo 1:
.
Usamos a regra do expoente com base e a regra da cadeia, com
:
Usamos a regra do expoente com base
Substituindo
(do Passo 5),
Termo 2:
.
Constante multiplicativa sai na frente. Aplicando a regra de
com
,
Constante multiplicativa
Substituindo
,
Termo 3:
.
Observe que . Derivando,
Observe que
Passo 7
Somando as derivadas dos três termos (porque a derivada de soma é soma das derivadas), obtemos a derivada total:
Se quiser, dá para fatorar
nos termos 1 e 3: