Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é a soma de duas parcelas:
e . -
é a constante matemática (aproximadamente ), logo é um número constante. - A pergunta é: calcular a derivada de
em relação a , isto é encontrar ou .
Passo 2
Lembrete básico (útil na prova): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Aqui vamos aplicar isso a
e a
.
Passo 3
Regra sobre constantes: se
é uma constante (número que não depende de
), então
Como
é constante,
também é constante, portanto
Isso já elimina a segunda parcela: sua derivada é zero.
Passo 4
Agora a parcela importante:
. Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A regra da potência para uma função composta diz o seguinte:
se
se
onde
é uma função de
(chamada de função interior) e
é um número real (aqui
), então a derivada é
Explicando as partes:
-
é a função interior (aqui será ); -
é a derivada dessa função interior em relação a ; - multiplicamos
, e .
Passo 5
Identificamos
e
. Primeiro calculamos
. A derivada de um polinômio é feita termo a termo:
-
(regra do expoente: traz o expoente multiplicando e diminui o expoente em 1); -
(derivada de é ).
Portanto
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia (passo 4) à nossa função
, obtemos
Lembre-se: o
vem do expoente original,
é o interior elevado ao expoente reduzido em 1, e multiplicamos pela derivada do interior
.
Passo 7
Somando as derivadas das duas parcelas (lembrando que a derivada de
é
), temos a derivada total:
Podemos omitir o
e deixar a forma final simplificada.
Passo 8
Para fixar o procedimento, um exemplo rápido parecido: se
, então
,
e
O raciocínio é exatamente o mesmo usado acima.