Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\left(x^{2}-3 x\right)^{5}+\ln \pi

Passo 1

O enunciado pede para determinar a expressão da derivada da função
y=\left(x^{2}-3x\right)^{5}+\ln \pi.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a soma de duas parcelas: \left(x^{2}-3x\right)^{5} e \ln \pi.
  • \pi é a constante matemática (aproximadamente 3{,}14159), logo \ln \pi é um número constante.
  • A pergunta é: calcular a derivada de y em relação a x, isto é encontrar y' ou \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Lembrete básico (útil na prova): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
y = f(x) + g(x),
então
y' = f'(x) + g'(x).
Aqui vamos aplicar isso a \left(x^{2}-3x\right)^{5} e a \ln \pi.

Passo 3

Regra sobre constantes: se c é uma constante (número que não depende de x), então
\frac{d}{dx}\,c = 0.
Como \pi é constante, \ln \pi também é constante, portanto
\frac{d}{dx}\ln \pi = 0.
Isso já elimina a segunda parcela: sua derivada é zero.

Passo 4

Agora a parcela importante: \left(x^{2}-3x\right)^{5}. Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. A regra da potência para uma função composta diz o seguinte:
se
y = \bigl(u(x)\bigr)^{n},
onde u(x) é uma função de x (chamada de função interior) e n é um número real (aqui n=5), então a derivada é
\frac{dy}{dx} = n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x).
Explicando as partes:
  • u(x) é a função interior (aqui será u(x)=x^{2}-3x);
  • u'(x) é a derivada dessa função interior em relação a x;
  • multiplicamos n, \bigl(u(x)\bigr)^{n-1} e u'(x).

Passo 5

Identificamos u(x)=x^{2}-3x e n=5. Primeiro calculamos u'(x). A derivada de um polinômio é feita termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\,x^{2}=2x (regra do expoente: traz o expoente multiplicando e diminui o expoente em 1);
  • \dfrac{d}{dx}\,(-3x)=-3 (derivada de ax é a).
Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-3x\bigr)=2x-3.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia (passo 4) à nossa função \left(x^{2}-3x\right)^{5}, obtemos
\frac{d}{dx}\left[\left(x^{2}-3x\right)^{5}\right]=5\left(x^{2}-3x\right)^{4}\cdot(2x-3).
Lembre-se: o 5 vem do expoente original, \left(x^{2}-3x\right)^{4} é o interior elevado ao expoente reduzido em 1, e multiplicamos pela derivada do interior (2x-3).

Passo 7

Somando as derivadas das duas parcelas (lembrando que a derivada de \ln \pi é 0), temos a derivada total:
y' = 5\left(x^{2}-3x\right)^{4}(2x-3) + 0.
Podemos omitir o +0 e deixar a forma final simplificada.

Passo 8

Para fixar o procedimento, um exemplo rápido parecido: se z=(3x+1)^{2}, então u(x)=3x+1, u'(x)=3 e
z' = 2(3x+1)\cdot 3 = 6(3x+1).
O raciocínio é exatamente o mesmo usado acima.

Resposta

y'=5\left(x^{2}-3x\right)^{4}(2x-3)

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